4.1 利率
债是最古老和最根本的金融活动。我们的社会本质上就是形形色色的债务关系的总和。维持庞大复杂的债务网络的核心，是债务的成本要均衡、稳定和可持续，而债务的成本，就是利率。费雪把利率定义为“现在消费和将来消费进行交换的价格”——资金有时间价值，所以让渡一部分的现在消费，就需要利息作为补偿或报酬。
我们对利息(率)（interest）给出如下定义：
利息(率)（interest）是货币在一定时期内的使用费，指货币持有者 (债权人， lender) 因贷出货币或货币资本（capital）而从借款人 (债务人， borrower) 手中获得的报酬。包括存款利息、贷款利息和各种债券发生的利息。
4.1.1 利率
- 利率的基本概念
- Principal；Capital：本金。业务开始时投资的金额。
- Accumulated value：积累值。业务结束时收回的总金额。
- Interest：利息(率).积累值和本金之差。
- 单利 Simple interest
假定本金为$C$，利率为$i$，则$n$年后的积累值为：$C\left(1 + n i\right)$
- 复利 Compound (effective) interest
假定本金为$C$，利率为$i$，则$n$年后的积累值为：$C\left(1+i\right)^n$
练习 4.1：
Calculate the length of time it will take ￡ 800 to accumulate to ￡1000 at a simple rate of interest of 4% pa.
解答：
The length of time can be found from the equation:
$$
\begin {align}
&800(1+0.04t)=1000\
&\Rightarrow n=6.25years
\end{align}
$$
4.1.2 积累因子
定义积累因子(Accumulation factor)$A(t{1},t{2})$为$t{1}$时刻单位 1 的投资在$t{2}$时刻的积累值。 $A(0,n)$可以简写为$A(n)$.
- 单利的情况，在时间区间$(0,n)$上的积累因子：$A(n)=1+ni$
- 复利的情况，在时间区间$(0,n)$上的积累因子：$A(n)=(1+i)^{n}$
4.1.3 现值
$n$时刻的存款$C$在 0 时刻的现值(Present value):
$$
PV=\frac{C}{(1+i)^n}
$$
- 为便于书写， 定义函数$v=\tfrac{1}{1+i}$. 则现值的表达式可进一步简写为 $PV=Cv^{n}$
- $v^n$ 的值可以查 “Formulae and Tables for Examination”(Tables).
注意，题目中要求的四舍五入有两种表述：
$$
\left{
\begin{array}{cc}
{\mbox{Significant figures}}&{\mbox{保留几位有效数字}}\
{\mbox{Decimal places}}&{\mbox{保留几位小数}}
\end{array}
\right.
$$
4.2 贴现率
4.2.1 贴现率
- 单贴现率 Simple discount}
假定$n$时刻的存款为$C$，贴现率为$d$，0 时刻的现值为：$C\left(1-nd\right)$
- 复贴现率 Compound (effective) discount}
假定$n$时刻的存款为$C$，贴现率为$d$，0 时刻的现值为：$C\left(1-d\right)^n$
4.2.2 贴现因子
定义贴现因子(Discount factors) $v(n)$为$t$时刻 1 单位的积累值在 0 时刻的现值。则：
$$
v(n)=\frac{1}{A(n)}
$$
4.3 实际利率和实际贴现率
4.3.1 实际利率
记第$n$期（$n-1$时刻至$n$时刻）的实际利率为$i_{n}$ ，则：
$$
i_{n}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n-1)}
$$
4.3.2 实际贴现率
记第$n$期（$n-1$时刻至$n$时刻）的实际贴现率为$d_{n}$ ，则：
$$
d_{n}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n)}
$$
4.4 等价率
等价率(Equivalent rates)研究的是$i,d,v$三者之间的关系：
$$
C(1+i)^{-n}=Cv^{n}=C(1-d)^{n}
$$
$$
v=1-d
$$
$$
d=1-v=1-\frac{1}{1+i}=\frac{i}{1+i}=iv
$$
题型 4.1. 等价率
等价率问题：已知$i$,求出等价的$d$，或已知$d$,求出等价的$i$。
对待此类问题，直接列式：
$$
\mbox{积累因子}=\frac{1}{\mbox{贴现因子}}
$$
其中：
$$
\mbox{积累因子}=\left{
\begin{array}{cc}
{1+ni} & {\mbox{单利}}\
{(1+i)^n} & {\mbox{复利}}
\end{array}
\right.
$$
$$
\mbox{贴现因子}=\left{\begin{array}{cc}
{1-nd} & {\mbox{单贴现率}}\
{(1-d)^n} & {\mbox{复贴现率}}
\end{array}
\right.
$$
例题 4.1 (CT1 September 2011 Q1)
A 91-day treasury bill is issued by the government at a simple rate of discount of 8% per annum.
Calculate the annual effective rate of return obtained by an investor who purchases the bill at issue.
思路
根据题意，直接列式：
$$
1-nd=(1+i)^{-n}
$$
其中，期限$n=\tfrac{91}{365}$, 单贴现率$d=8\%$. 求等价的复利$i$.
解
$$
\begin{align}
&\left(1-\frac{91}{365} \times 0.08\right)=(1+i)^{-\frac{91}{365}} \
&0.980055=(1+i)^{-\frac{91}{365}} \
&1+i=1.08416 \Rightarrow i=8.416\%
\end{align}
$$
第 4 章 习题
Exercise 2: CT1 September 2018 Q1
An investor is considering two investments. One investment is a 91-day bond issued by a bank which pays a rate of interest of 4% per annum effective. The second is a 91-day treasury bill which pays out
发表于 2020-2-25 13:52:19
