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[分类1] mathjax测试1

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发表于 2020-2-24 14:49:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
閭璇峰洖绛
本帖最后由 edition1 于 2020-2-24 15:23 编辑

$\def\angld#1{\overline{#1\,}\kern-3mu\lower-1mu\small|}$

看第一小问。我们用和上题相同的方法,记$b=4\%$:

$$ \begin{array}{ll} {\text{EPV of benefits}} & {} \ {=75000({{}q}{[40]}v^{0.5}+{{1|}q}{[40]}(1+b)v^{1.5}+\cdots+ {{24|}q}{[40]}(1+b)^{24}v^{24.5} )}& {} \ {=\frac{75000\times (1+i)^{0.5}}{(1+b)}\times A{[40]:\angld{25}@j}^1} & {\mbox{其中}j=\frac{1.04}{(1+b)}-1=0\%} \ {=\frac{75000\times (1+i)^{0.5}}{(1+b)}\times({}A{[40]}-{{25}p}{[40]}v^{25}{}A_{65})@j} & {}\ {=\frac{75000}{(1.04)^{0.5}}\times(1-\frac{8821.2612}{9854.3036}\times1\times1)} & {} \end{array} $$

这里新计算出的$j=0\%$, 没法对$A_{[40]:\angld{25}}^1$直接查表,所以我们先转化为终身寿险的保险金 EPV,根据原始定义可以发现:

$$ {}A{x}=\sum{k=0}^{\infty}v^{k+1}{{k|}q}{x}=\sum{k=0}^{\infty}{{k|}q}{x}=1 $$

这道题的 Renewal expenses 也是 4% 的增长率,所以:

$$ \begin{array}{ll} {\text{EPV of renewal expenses}} & {} \ {=75(\ddot{a}{[40]:\angld{25}@j} -1 )}& {\mbox{其中}j=\frac{1.04}{(1+b)}-1=0\%} \ {=75 \frac{1}{l{[40]}}\left(l{[40]+1}+\ldots+l{64}\right)} & {} \ {=e{[40]}-\frac{l{64}}{l{[40]}}e{64}}& {\mbox{因为}e{x}=E[K{x}]=\sum{k=0}^{\infty}k \cdot P(K{x}=k)=\sum{k=1}^{\infty}{{k}p}{x}=\sum{k=1}^{\infty}\frac{l_{x+k}}{l_x}} \end{array} $$

接下来查表即可。

MWRR 为币值加权收益率,TWRR 为时间加权收益率。MWRR 和 TWRR 是旧大纲 CT1 的 Measurement of investment performance 一节的内容,新大纲 CM1 中已经删去。但在 2019 年的慕再精算竞赛中有考察,且在西浦 MTH120 和利物浦 MATH267 科目中仍是一道必考题,值得一看。

MWRR 为币值加权收益率,TWRR 为时间加权收益率。

MWRR:Money-weighted rate of return

注意,在币值加权收益率 MWRR 中,用到的只是“new money”(新投入的钱,而不是基金本身运转得到的钱)

用以下公式计算出的$i$即为 MWRR:

$$ F{0}(1+i)^{T}+C{t{1}}(1+i)^{T-t{1}}+C{t{2}}(1+i)^{T-t{2}}+\cdots+C{t{n}}(1+i)^{T-t{n}}=F_{T} $$

其中,$F{0}$是 0 时刻的 fund value;$F{T}$是$T$时刻的 fund value.

计算 MWRR 时,用一阶近似找到近似的$i$(用$\def\angld#1{\overline{#1\,}\kern-3mu\lower-1mu\small|}$

看第一小问。我们用和上题相同的方法,记$b=4\%$:

$$
\begin{array}{ll}
{\text{EPV of benefits}} & {} \\
{=75000({_{}q}_{[40]}v^{0.5}+{_{1|}q}_{[40]}(1+b)v^{1.5}+\cdots+ {_{24|}q}_{[40]}(1+b)^{24}v^{24.5} )}& {} \\
{=\frac{75000\times (1+i)^{0.5}}{(1+b)}\times A_{[40]:\angld{25}@j}^1} & {\mbox{其中}j=\frac{1.04}{(1+b)}-1=0\%} \\
{=\frac{75000\times (1+i)^{0.5}}{(1+b)}\times(_{}A_{[40]}-{_{25}p}_{[40]}v^{25}_{}A_{65})@j} & {}\\
{=\frac{75000}{(1.04)^{0.5}}\times(1-\frac{8821.2612}{9854.3036}\times1\times1)} & {}
\end{array}
$$

这里新计算出的$j=0\%$, 没法对$A_{[40]:\angld{25}}^1$直接查表,所以我们先转化为终身寿险的保险金 EPV,根据原始定义可以发现:

$$
_{}A_{x}=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}{_{k|}q}_{x}=\sum_{k=0}^{\infty}{_{k|}q}_{x}=1
$$

这道题的 Renewal expenses 也是 4% 的增长率,所以:

$$
\begin{array}{ll}
{\text{EPV of renewal expenses}} & {} \\
{=75(\ddot{a}_{[40]:\angld{25}@j} -1 )}& {\mbox{其中}j=\frac{1.04}{(1+b)}-1=0\%} \\
{=75 \frac{1}{l_{[40]}}\left(l_{[40]+1}+\ldots+l_{64}\right)} & {} \\
{=e_{[40]}-\frac{l_{64}}{l_{[40]}}e_{64}}& {\mbox{因为}e_{x}=E[K_{x}]=\sum_{k=0}^{\infty}k \cdot P(K_{x}=k)=\sum_{k=1}^{\infty}{_{k}p}_{x}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{l_{x+k}}{l_x}}
\end{array}
$$

接下来查表即可。

MWRR 为币值加权收益率,TWRR 为时间加权收益率。MWRR 和 TWRR 是旧大纲 CT1 的 Measurement of investment performance 一节的内容,新大纲 CM1 中已经删去。但在 2019 年的慕再精算竞赛中有考察,且在西浦 MTH120 和利物浦 MATH267 科目中仍是一道必考题,值得一看。

MWRR 为币值加权收益率,TWRR 为时间加权收益率。

## MWRR:Money-weighted rate of return

注意,在币值加权收益率 MWRR 中,用到的只是“new money”(新投入的钱,而不是基金本身运转得到的钱)

用以下公式计算出的$i$即为 MWRR:

$$
F_{0}(1+i)^{T}+C_{t_{1}}(1+i)^{T-t_{1}}+C_{t_{2}}(1+i)^{T-t_{2}}+\cdots+C_{t_{n}}(1+i)^{T-t_{n}}=F_{T}
$$

其中,$F_{0}$是 0 时刻的 fund value;$F_{T}$是$T$时刻的 fund value.

计算 MWRR 时,用一阶近似找到近似的$i$(用$1+ni$代替$(1+i)^n$),再比这个$i$大和比这个$i$小分别找两个$i_{1}$和$i_{2}$,再用线性插值法算出更为准确的$i$.

## TWRR:Time-weighted rate of return

时间加权收益率 TWRR 是通过以下式子算出的$i$:

$$
(1+i)^{T}=\frac{F_{t_{-}}-}{F_{0}+C_{0}} \frac{F_{t_{2}-}}{F_{t_{1}-}+C_{t_{1}}} \frac{F_{t_{3}-}}{F_{t_{2}-}+C_{t_{2}}} \cdots \frac{F_{T}}{F_{t_{n}-}+C_{t_{n}}}
$$

![TWRR 计算示意图](https://imgkr.cn-bj.ufileos.com/949281ae-3c43-4f21-a644-9eb4507c9f5e.png)

TWRR 的原理:计算“没有任何事情发生的时间区间里的”growth factor.

## Linked internal rate of return

$$
(1+i)^{t_{n}}=\left(1+i_{1}\right)^{t_{1}}\left(1+i_{2}\right)^{t_{2}-t_{1}}\left(1+i_{3}\right)^{t_{3}-t_{2}} \ldots\left(1+i_{n}\right)^{t_{n}-t_{n-1}}
$$

## 线性插值法

假定我们在利率$i_{1}$ 和 $i_{2}$ 下计算出的现值分别为 $P_{1}$和$P_{2}$ , 我们希望计算出准确的现值$P$对应的利率$i$.

可以用下图表示:

![线性插值法](https://imgkr.cn-bj.ufileos.com/d64ba034-f831-4923-847d-7c63843ad6a5.jpg)

$$
\frac{i-i_{1}}{i_{2}-i_{1}}=\frac{P-P_{1}}{P_{2}-P_{1}}
$$

可以解出$i$的值为:

$$
i \approx i_{1}+\frac{P-P_{1}}{P_{2}-P_{1}} \times\left(i_{2}-i_{1}\right)
$$

线性插值法在《用泰勒展开式画一只橘猫》中也有详细讲,感兴趣的同学不妨看看。

$$

$$
+ni$代替$(1+i)^n$),再比这个$i$大和比这个$i$小分别找两个$i{1}$和$i{2}$,再用线性插值法算出更为准确的$i$.

TWRR:Time-weighted rate of return

时间加权收益率 TWRR 是通过以下式子算出的$i$:

$$ (1+i)^{T}=\frac{F{t{-}}-}{F{0}+C{0}} \frac{F{t{2}-}}{F{t{1}-}+C{t{1}}} \frac{F{t{3}-}}{F{t{2}-}+C{t{2}}} \cdots \frac{F{T}}{F{t{n}-}+C{t_{n}}} $$

TWRR 计算示意图

TWRR 的原理:计算“没有任何事情发生的时间区间里的”growth factor.

Linked internal rate of return

$$ (1+i)^{t{n}}=\left(1+i{1}\right)^{t{1}}\left(1+i{2}\right)^{t{2}-t{1}}\left(1+i{3}\right)^{t{3}-t{2}} \ldots\left(1+i{n}\right)^{t{n}-t{n-1}} $$

线性插值法

假定我们在利率$i{1}$ 和 $i{2}$ 下计算出的现值分别为 $P{1}$和$P{2}$ , 我们希望计算出准确的现值$P$对应的利率$i$.

可以用下图表示:

线性插值法

$$ \frac{i-i{1}}{i{2}-i{1}}=\frac{P-P{1}}{P{2}-P{1}} $$

可以解出$i$的值为:

$$ i \approx i{1}+\frac{P-P{1}}{P{2}-P{1}} \times\left(i{2}-i{1}\right) $$

线性插值法在《用泰勒展开式画一只橘猫》中也有详细讲,感兴趣的同学不妨看看。

$$

$$

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